szabályos testek
Tétel: Csak ötféle szabályos test valósítható meg: |
|||||
n |
m |
c |
e |
l |
|
Szabályos testek |
a lap oldalainak a száma |
a csúcsba összefutó élek száma |
a csúcsok száma |
az élek száma |
a lapok |
Tetraéder Tűz |
n=3 |
m=3 |
c=4 |
e=6 |
l=4 |
Hexaéder Föld |
n=4 | m=3 | c=8 | e=12 |
l=6 |
Oktaéder Levegő |
n=3 | m=4 | c=6 | e=12 | l=8 |
Dodekaéder Kozmosz |
n=5 | m=3 | c=20 | e=30 | l=12 |
Ikozaéder Víz |
n=3 | m=5 | c=12 | e=30 | l=20 |
Euler tétele:
A lapok számából (l) kivonunk 1-et
és a csúcsok számából (c) is kivonunk 1-et,
és a két kivonás eredményét összeadjuk,
akkor megkapjuk az élek (e) számát:
(l-1)+(c-1)=e ami felírható így is l+c=e+2
Euler tételének bizonyítása:
Képzeljünk el egy bolygót, amelyet falak hálóznak be, és a falak találkozási pontjaiban, őrtornyokban őrök vannak.
Meg akarunk győződni az őrtornyokat összekötő falak számáról:
Az egyik falakkal körülvett medencét feltöltjük vízzel és ezzel a vízzel el akarjuk árasztani az egész bolygót.
A medence falai gátak és a gátakon körbejárható a vizes medence.
Az egyik oldalfalát a medencének felrobbantjuk és így víz áraszt el egy másik medencét. Az így keletkezett nagyobb medence a gátakon át szintén körbejárható. Csak olyan vizes medencét járhatunk körbe, amelyet száraz medencék vesznek körül. Az utolsó robbantás után, amikor már mindegyik medence vizes, a gátakon való körbejárás már nem lehetséges, azaz mindegyik őrtoronyhoz, csak egyetlen út vezet.
Minden robbantással újabb medencét árasztunk el vízzel. Az utolsó robbantás után megállapíthatjuk, hogy a felrobbantott falak száma az eredeti medencék (l) számánál 1-el kevesebb (l-1), hiszen az első medencét mi töltöttük fel vízzel, nem robbantással árasztottuk el.
Az őrparancsnok az őrtornyából megfújja a sípját, mire az őrök az őrtornyukból a parancsnok irányába a gátra lépnek. Megállapíthatjuk, hogy mindegyik gáton egy őr áll. Mivel az őrparancsnok a toronyban maradt, ezért a tornyok (c) számából kivonva 1-et (c-1) megkapjuk a toronyból a gátakra lépett őrök számát, ami megegyezik az épen maradt falak számával.
A felrobbantott falak számának (l-1) meg az épen maradt falak számának (c-1) az összege egyenlő az eredeti falak számával (e).
Azaz (l-1)+(c-1)=e ami felírható így is l+c=e+2
Tétel:
Csak ötféle szabályos test valósítható meg
A tétel bizonyítása:
Minthogy minden él két lap oldala, ezért a lapok oldalszámát összegezve az élek számának a kétszeresét kapjuk. Szabályos testek esetén mindegyik lapnak ugyanannyi (n) oldala van ezért a lapok oldalszámának az összegezését megkapjuk,
ha az (n) oldalszámot megszorozzuk az (l) lapszámmal: ln=2e
l-t kifejezve: l=2e/n
Minthogy minden él két csúcsba fut, ezért a csúcsokba futó éleket összegezve az élek számának a kétszeresét kapjuk. Szabályos testek esetén mindegyik csúcsba ugyanannyi (m) él fut ezért a csúcsokba futó élek összegezését megkapjuk,
ha az (m) élek számát megszorozzuk a (c) csúcsok számával: cm=2e
c-t kifejezve: c=2e/m
Euler tétele:
l+c=e+2
l és c kifejezett értékeit behelyettesítjük:
2e/n+2e/m=e+2
Mindkét oldalt elosztjuk 2e-vel:
1/n+1/m=1/2+1/e
Az egyenlet végéről elhagyjuk az 1/e tagot ezzel az alábbi egyenlőtlenséghez jutunk:
1/n+1/m>1/2
2mn-el beszorozzuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát:
2m+2n>mn
Az egyenlőtlenség baloldalát mindkét oldalból kivonjuk
0>mn-2m-2n
Képezzük (n-2) és (m-2) szorzatát:
(n-2)(m-2)=mn-2m-2n+4
Vegyük észre, hogy az egyenlet jobb oldala 4-el nagyobb, mit az egyenlőtlenségünk jobb oldala.
Ha az egyenlőtlenségük jobb oldalát kicseréljük arra, hogy (n-2)(m-2), akkor az egyenlőtlenségünk bal oldalához is hozzá kell adnunk 4-et.
4>(n-2)(m-2)
Egyenlőtlenségünk jobb oldala 1-nél kisebb nem lehet, mert sem n, sem m nem lehet 3-nál kisebb. A jobb oldal csak 1, 2, és 3 lehet.
E számok felbontásai:
1*1 | 2*1 | 1*2 | 3*1 | 1*3 |
Ezek a felbontások n és m számára 5 lehetőséget adnak.
4>(n-2)(m-2) |
||||
Tetraéder |
Hexaéder |
Oktaéder |
Dodekaéder |
Ikozaéder |
n=3, m=3 (3-2)(3-2) 1*1 |
n=4, m=3 (4-2)(3-2) 2*1 |
n=3, m=4 (3-2)(4-2) 1*2 |
n=5, m=3 (5-2)(3-2) 3*1 |
n=3, m=5 (3-2)(5-2) 1*3 |
Azaz, csak ötféle szabályos test valósítható meg. Forrás: Hajós György "Bevezetés a geometriába" Tankönyvkiadó, Budapest, 1987
Szalma alakú gyöngyöket vékony drótra fűzve
megalkothatjuk a szabályos testek körvonalait.